Fraktale

Mandelbrot

Die Geschichte der Fraktalen Geometrie begann im Jahre 1980 damit, daß der Mathematiker Benoit Mandelbrot spielerisch versuchte, nichtlineare Gleichungen mit einer neuen, bis dahin unüblichen Methode zu lösen.
Schnell entdeckten er und einige seiner Fachkollegen, daß ein neues Fenster der Mathematik geöffnet worden war. Der Name „Fraktale Geometrie“ bedeutet soviel wie Geometrie der gebrochenen Dimension.

Lyapunov

Die Fraktale Geometrie arbeitet, wie die Natur, iterativ:
Ausgehend von einer Anfangsbedingung errechnet man das Funktionsergebnis der ersten Rechenschleife. Der 2. Schritt nimmt dieses Erbegnis auf und bestimmt nach dem gleichen Algorithmus das Ergebnis der zweiten Schleife. Wendet man diesen iterativen Lösungsansatz im imaginären Zahlenraum an, dann erhält man Bilder wie sie hier gezeigt werden.

Julia

Nun fragt man sich, warum kluge Köpfe erst jetzt diesen neuen Lösungsweg finden? Um Rechenalgorithmen dieser Art durchführen zu können, benötigt man sehr leistungsfähige Rechner, die es bis zu diesem Zeitpunkt noch nicht gab. Jeder Bildpunkt wird so oft iterativ berechnet, bis der Rechenalgorithmus konvergiert, oder auch nicht. Die Farbe des Bildpunktes entspricht der Zahl der Iterationen. Absolut stabil entspricht weiß, Chaos entspricht schwarz. Schon vor Mandelbrot haben die Mathematiker Julia und Lyapunov diese Eigenschaften vorhergesagt. Sie hatten jedoch leider noch nicht die technischen Mittel, das Ergebnis graphisch darzustellen.

Mit den Methoden, die die Mathematik und Physik zur Verfügung stellen, fällt es schwer, einfache Formen aus unserem Umfeld zu beschreiben. Wir haben gelernt, mit Geraden, Kreisen, Kugeln und Zylindern zu arbeiten. Damit lassen sich jedoch die eben genannten Formen nicht beschreiben. Denken wir nur an den Formenreichtum am Meeresstrand an der Wasserlinie, in den Dünen, auf der Wasseroberfläche, die Wolken am Himmel, den Wuchs eines Baumes, das unstete Verhalten einer Flamme. Alle diese Formen sind fraktal und lassen sich mit klassischer Geometrie nicht darstellen.

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